Добрый день!
Я - художник, линией нарисовавший цвет и еще сделавший много чего (с чем можно ознакомиться на моих сайтах), хочу выразить Вам уважение, хоть до конца в математических тонкостях вВашей формулы не разобрался еще. Заранее восхищен, потому что читаю дискуссии в форумах - все в точности, как и про меня!!! На эти форумы вышел, пытаясь найти формулу длины эллипса. Для чего? Вообще-то, ДЛИНА - это моя художественная форма и с помощью ее я и нарисовал ЦВЕТ. Но здесь причина была другая - объяснение дочери, 6-класснице. С площадью эллипса понятно: раздвигаются центры окружности,получается эллипс, площадь сохраняется. А длина? Так полез в инет и вышел на Вас. Про интегральную длину кривой знаю. Когда-то был неприятно удивлен, пытаясь найти длину синусоиды. А теперь точно так же был неприятно удивлен сложностью и даже приближенностью(!) длины эллипса!? А я УБЕЖДЕН, что раз сложно, то неправильно. Должно быть просто! Как с площадью. Например, когда я решал проблему связи цвета и звука (а люди ее решали 300 лет!), я таких теорий начитался, что никакого времени не хватит разъяснять их. Я решил эту задачу со всеми подробностями и тонкостями  на 2-х страницах. И точно такая же история была с нарисованным цветом: точно такие же форумы, точно такие же говоруны, считающие меня параноиком и тд. Так что, Вы - не один. Еще, в чем нашел я схожесть, так это - не боязнь, а смелость соваться в неизвестные области. Как, например, Вы - не математик и полезли в математику. Во-первых в проблему можно углубиться до любой степени при желании. Но, главное, сохранить при этом стержень неудовлетворения, который и побудил обратиться к этой теме. Он дает возможность не увязнуть в мелочах, в которых, как раз, увязли остальные. И во-вторых, и главных, иметь свежесть подхода. Мог бы долго говорить, будете в Питере, заходите,пообщаемся. На мои изобретения и работы можно выйти отсюда: www.korostelev.narod.ru